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Iqra Ahsan
Electrical Engineering Department. 
University Of Engineering And Technology, Lahore
Pakistan


Abstract� The study investigates state of the art Chua�s nonlinear circuit based on Weinbridge oscillator and single op-amp based simplified nonlinear diode. Chua�s nonlinear circuit is the first autonomous (without ac source) electronic circuit where chaos was observed experimentally, numerically and proven theoretically. Since the advent of nonlinear circuits exhibiting chaos the quest is to find the simplified version of these circuits. With the presence of inductor and two op-amp based nonlinear diode the Chua�s circuit is not considered as simplified electronic circuit. In this study the complex nonlinear characteristics of Chua�s circuit are explored by an inductor-free, one op-amp based nonlinear diode which is currently the most simplified version of this circuit. Hardware implementation and circuit simulation of the circuit gives the identical nonlinear dynamical characteristics that of conventional Chua�s circuit e.g. limit cycle attractor, chaotic spiral attractor, period doubling cascade and chaotic double scroll attractor. The existence of chaos in the system is verified through time series plots, phase portraits, bifurcation diagram and lyapunov spectrum. Nonlinear ordinary differential equations of the proposed circuit were solved using Matlab.
Keywords� Chaos, Op-amp based Chua�s circuit, Attractor, Bifurcation, lyapunov spectrum.
 Introduction (Heading 1)
The systems that evolve through time are called dynamical systems. There are two types of dynamical systems iterated map with discrete time and differential equations with continuous time. The phenomena of chaos can occur in both systems. It can be defined as deterministic but unpredictable behavior of nonlinear dynamical systems. Chaotic systems have infinite period and sensitive dependence on initial conditions. There are several applications of chaos in various fields of science such as biology, chemistry, physics, robotics, cryptography and secure communication. 
The chaotic dynamics can be examined through nonlinear electronic circuits. The quest is to design a nonlinear electronic circuit with simpler components. According to Poincare Bendixson theorem �For continuous dynamical system to have chaotic behavior the system should be completely defined by three dimensions in phase space and it should have at least one nonlinear term�. The Chua�s circuit was the first autonomous nonlinear electronic circuit to generate chaos. The conventional Chua�s circuit has three energy storage elements, a linear resistor and one locally active nonlinear diode (three segment piecewise-linear resistor). These are the minimum number of elements a chaotic system should have. The construction of the Chua�s circuit contain a second order LC resonator cascaded with op-amps based negative impedance converter through a RC high pass filter. 
Presence of inductor makes the circuit hardware bulky, less robust, less compact, less reliable and expensive. Many inductor-free realizations of Chua�s circuit are proposed in literature till now. And the three segment piecewise nonlinearity of Chua�s diode can be synthesized through any simpler two-terminal nonlinear component  ADDIN EN.CITE <EndNote><Cite><Author>Kennedy</Author><Year>1994</Year><RecNum>1</RecNum><DisplayText>[1]</DisplayText><record><rec-number>1</rec-number><foreign-keys><key app="EN" db-id="5sadz2xtxz59frepf5y5d0wfvaea9edevswd" timestamp="1526411503">1</key></foreign-keys><ref-type name="Journal Article">17</ref-type><contributors><authors><author>Michael Peter Kennedy</author></authors></contributors><titles><title>Robust OP Amp Realization of Chua&apos;s Circuit</title></titles><dates><year>1994</year></dates><urls></urls></record></Cite></EndNote>[1]. Different inductor-free and nonlinear diode realizations are proposed after the discovery of nonlinear Chua�s circuit. 
Is this paper op-amps based inductor-less Chua�s circuit is studied, the LC resonator is replaced by a sinusoidal oscillator and the nonlinear diode is replaced by a negative impedance converter. The inductor-less Chua�s circuit shows all the dynamical behavior as of conventional Chua�s circuit such as limit cycle attractors, spiral chaotic attractor, double scroll chaotic attractor and period double cascade by varying value of a single control parameter.
This paper is organized in the following manner. In section-2 op-amp based Chua�s circuit is presented. The dynamical behavior of the proposed system is studied through its numerical simulations and hardware results. In the following section op-amp based Chua�s circuit is investigated through numerical and experimental results. In section-4 chaos is explored using lyapnouv spectrum and pitch-fork bifurcation. section-5 conclude the results.
Op-Amp Based Inductor-Less Chua�s circuit.
In 1983 first autonomous nonlinear electronics circuit was designed by Leon O Chua. The Chua�s system has three ordinary differential equations. These equations are:








Here  QUOTE   is the nonlinear term.


This choice of piecewise linear function is only for the convenience of practical implementation of the circuit. Now the dimensionless ODEs are given below:









The new variables are





The electronic circuit representing the above system of equations is shown in figure.


Figure  SEQ Figure \* ARABIC 1: Op-amp based Chua's circuit
The electronic circuit is based on two TL082 op-amps, three capacitors and eight resistors. Here resistor R is the control parameter of the system. By varying the value of control parameter the system shows limit-cycle attractor, spiral chaotic attractor, double-scroll chaotic attractor. 

Table  SEQ Table \* ARABIC 1: System Parameters
System ParametersResistorR=1.3k QUOTE  Capacitor 
The response of the system is observed through simulation and experimentation. The system parameter values are listed in table. For system to operate properly the gain of the oscillator must be less than or equal to 3. 
 QUOTE    )

Different attractors observed are listed in table 2.

Table  SEQ Table \* ARABIC 2: Control parameter and Attractor type
Value of R in  QUOTE  Attractor typeValue of  R in  QUOTE  Attractor type1.3KSpiral period-11.9KPeriod-21.4KSpiral period-22KDouble scroll chaotic1.5KSpiral chaotic
Numerical and Experimental results
The Op-Amp based inductor less Chua�s circuit has been explored through NI Instrument Multisim 12 simulation software. Chua�s circuit consists of two portions one is the operational amplifier based Weinbridge oscillator circuit and the other part is an operational amplifier based negative impedance converter (negative resistor) generally called Chua�s diode. Operational amplifier TL082 is used for designing this oscillator. Before you begin to format your paper, first write and save Abbreviations and Acronyms
Define abbreviations and acronyms the first time they are used in the text, even after they have been defined in the abstract. Abbreviations such as IEEE, SI, MKS, CGS, sc, dc, and rms do not have to be defined. Do not use abbreviations in the title or heads unless they are unavoidable.
Units
Use either SI (MKS) or CGS as primary units. (SI units are encouraged.) English units may be used as secondary units (in parentheses). An exception would be the use of English units as identifiers in trade, such as �3.5-inch disk drive.�
Avoid combining SI and CGS units, such as current in amperes and magnetic field in oersteds. This often leads to confusion because equations do not balance dimensionally. If you must use mixed units, clearly state the units for each quantity that you use in an equation.
Do not mix complete spellings and abbreviations of units: �Wb/m2� or �webers per square meter,� not �webers/m2.� Spell units when they appear in text: �...a few henries,� not �...a few H.�
Use a zero before decimal points: �0.25,� not �.25.� Use �cm3,� not �cc.� (bullet list)
Equations
The equations are an exception to the prescribed specifications of this template. You will need to determine whether or not your equation should be typed using either the Times New Roman or the Symbol font (please no other font). To create multileveled equations, it may be necessary to treat the equation as a graphic and insert it into the text after your paper is styled.
Number equations consecutively. Equation numbers, within parentheses, are to position flush right, as in (1), using a right tab stop. To make your equations more compact, you may use the solidus ( / ), the exp function, or appropriate exponents. Italicize Roman symbols for quantities and variables, but not Greek symbols. Use a long dash rather than a hyphen for a minus sign. Punctuate equations with commas or periods when they are part of a sentence, as in
	a �+� �b � �=� �g�	(�1�)�		a� � �+� �b� � �=� �c�.�	(�1�)�	(�1�)�
Note that the equation is centered using a center tab stop. Be sure that the symbols in your equation have been defined before or immediately following the equation. Use  (1),  not  Eq. (1)  or  equation (1),  except at the beginning of a sentence:  Equation (1) is ... 
Some Common Mistakes
The word  data  is plural, not singular.
The subscript for the permeability of vacuum m�0, and other common scientific constants, is zero with subscript formatting, not a lowercase letter �o.�
In American English, commas, semi-/colons, periods, question and exclamation marks are located within quotation marks only when a complete thought or name is cited, such as a title or full quotation. When quotation marks are used, instead of a bold or italic typeface, to highlight a word or phrase, punctuation should appear outside of the quotation marks. A parenthetical phrase or statement at the end of a sentence is punctuated outside of the closing parenthesis (like this). (A parenthetical sentence is punctuated within the parentheses.)
A graph within a graph is an �inset,� not an �insert.� The word alternatively is preferred to the word �alternately� (unless you really mean something that alternates).
Do not use the word �essentially� to mean �approximately� or �effectively.�
In your paper title, if the words �that uses� can accurately replace the word using, capitalize the �u�; if not, keep using lower-cased.
Be aware of the different meanings of the homophones �affect� and �effect,� �complement� and �compliment,� �discreet� and �discrete,� �principal� and �principle.�
Do not confuse �imply� and �infer.�
The prefix �non� is not a word; it should be joined to the word it modifies, usually without a hyphen.
There is no period after the �et� in the Latin abbreviation �et al.�
The abbreviation �i.e.� means �that is,� and the abbreviation �e.g.� means �for example.�
An excellent style manual for science writers is [7].
Using the Template
After the text edit has been completed, the paper is ready for the template. Duplicate the template file by using the Save As command, and use the naming convention prescribed by your conference for the name of your paper. In this newly created file, highlight all of the contents and import your prepared text file. You are now ready to style your paper; use the scroll down window on the left of the MS Word Formatting toolbar.
Authors and Affiliations
The template is designed so that author affiliations are not repeated each time for multiple authors of the same affiliation. Please keep your affiliations as succinct as possible (for example, do not differentiate among departments of the same organization). This template was designed for two affiliations.
For author/s of only one affiliation (Heading 3): To change the default, adjust the template as follows.
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Reassign number of columns: Place your cursor to the right of the last character of the last affiliation line of an even numbered affiliation (e.g., if there are five affiliations, place your cursor at end of fourth affiliation). Drag the cursor up to highlight all of the above author and affiliation lines. Go to Column icon and select �2 Columns�. If you have an odd number of affiliations, the final affiliation will be centered on the page; all previous will be in two columns.
Identify the Headings
Headings, or heads, are organizational devices that guide the reader through your paper. There are two types: component heads and text heads.
Component heads identify the different components of your paper and are not topically subordinate to each other. Examples include ACKNOWLEDGMENTS and REFERENCES, and for these, the correct style to use is �Heading 5.� Use �figure caption� for your Figure captions, and �table head� for your table title. Run-in heads, such as �Abstract,� will require you to apply a style (in this case, italic) in addition to the style provided by the drop down menu to differentiate the head from the text.
Text heads organize the topics on a relational, hierarchical basis. For example, the paper title is the primary text head because all subsequent material relates and elaborates on this one topic. If there are two or more sub-topics, the next level head (uppercase Roman numerals) should be used and, conversely, if there are not at least two sub-topics, then no subheads should be introduced. Styles named �Heading 1,� �Heading 2,� �Heading 3,� and �Heading 4� are prescribed.
Figures and Tables
Positioning Figures and Tables: Place figures and tables at the top and bottom of columns. Avoid placing them in the middle of columns. Large figures and tables may span across both columns. Figure captions should be below the figures; table heads should appear above the tables. Insert figures and tables after they are cited in the text. Use the abbreviation �Fig. 1,� even at the beginning of a sentence.
Table Styles
Table HeadTable Column HeadTable column subheadSubheadSubheadcopyMore table copyaSample of a Table footnote. (Table footnote)

Example of a figure caption. (figure caption)
Figure Labels: Use 8 point Times New Roman for Figure labels. Use words rather than symbols or abbreviations when writing Figure axis labels to avoid confusing the reader. As an example, write the quantity �Magnetization,� or �Magnetization, M,� not just �M.� If including units in the label, present them within parentheses. Do not label axes only with units. In the example, write �Magnetization (A/m)� or �Magnetization (A ( m(1),� not just �A/m.� Do not label axes with a ratio of quantities and units. For example, write �Temperature (K),� not �Temperature/K.�
Acknowledgment (Heading 5)
The preferred spelling of the word �acknowledgment� in America is without an �e� after the �g.� Avoid the stilted expression �one of us (R. B. G.) thanks ...�.  Instead, try �R. B. G. thanks...�. Put sponsor acknowledgments in the unnumbered footnote on the first page.

References
The template will number citations consecutively within brackets [1]. The sentence punctuation follows the bracket [2]. Refer simply to the reference number, as in [3]�do not use �Ref. [3]� or �reference [3]� except at the beginning of a sentence: �Reference [3] was the first ...�
Number footnotes separately in superscripts. Place the actual footnote at the bottom of the column in which it was cited. Do not put footnotes in the reference list. Use letters for table footnotes.
Unless there are six authors or more give all authors� names; do not use �et al.�. Papers that have not been published, even if they have been submitted for publication, should be cited as �unpublished� [4]. Papers that have been accepted for publication should be cited as �in press� [5]. Capitalize only the first word in a paper title, except for proper nouns and element symbols.
For papers published in translation journals, please give the English citation first, followed by the original foreign-language citation [6].

G. Eason, B. Noble, and I.N. Sneddon, �On certain integrals of Lipschitz-Hankel type involving products of Bessel functions,� Phil. Trans. Roy. Soc. London, vol. A247, pp. 529-551, April 1955. (references)
J. Clerk Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, 3rd ed., vol. 2. Oxford: Clarendon, 1892, pp.68-73.
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K. Elissa, �Title of paper if known,� unpublished.
R. Nicole, �Title of paper with only first word capitalized,� J. Name Stand. Abbrev., in press.
Y. Yorozu, M. Hirano, K. Oka, and Y. Tagawa, �Electron spectroscopy studies on magneto-optical media and plastic substrate interface,� 234=>V������
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9�rAF�.*q�~5g'�d(�;+,M+�G:�Y:�Q<�Y@�ED�jGR[[S[�arAaHFlLr�Bt{?u�9xZ|x�y|���T��U��u��P���e�>E��@��}���f��y�m��oP�bC�����:��E�E�@�VVVV@)#)$)%�DG0@0,0.0`@0 @��Unknown������������G��.�Cx�	�Times New Roman5��Symbol3.��*�Cx�	�ArialG=��
	���j�MS Mincho-�3� fg7.���@�Calibri?=�	�*�Cx�	�Courier New;��WingdingsA���$B�Cambria Math"���h�h��i�Eb
5;#~b
5;#~!��8����0tEtE2�Q����(����������������������Y:2!xx����$Paper Title (use style: paper title)IEEE
iqra ahsan0	����Oh��+'��0t�������	 
@L
Xdlt|��(Paper Title (use style: paper title)IEEENormaliqra ahsan5Microsoft Office Word@ޡ�	@@�ZA�@�f�A�b
5;G�����R�s&	d{�b.���@Times New Roman---	2
dDbStudy of op	

	
2
d�b-
	&2
d�bamp based inductor
			
2
d�b-
	(2
d�bless Chua�s circuit	
				
2
d�b 	���@Times New Roman---	
2
�lbI	2
�q	bqra Ahsan	
2
��b 	���@Times New Roman---	/2
�/bElectrical Engineering D		2
��bepartment. 		
2
��b 		S2
�0bUniversity Of Engineering And Technology, Lahore		
	
2
�b 		2
�vbPakistan	
2
��b 		
2
��b 		
2
��b 	���@Times New Roman---���@Times New Roman---���@Times New Roman---���@Times New Roman------	2
�CbAbstract---	
2
�jb�---	
2
�vb ---	R2
�~/bThe study investigates state of the art Chua�s 			D2
1&bnonlinear circuit based on Weinbridge 	/2
boscillator and single op	
2
}b-		n2
1Bbamp based simplified nonlinear diode. Chua�s nonlinear circuit is 

			n2
 1Bbthe first autonomous (without ac source) electronic circuit where 
		b2
.1:bchaos was observed experimentally, numerically and proven 

		I2
<1)btheoretically. Since the advent of nonlin	/2
<bear circuits exhibiting 		s2
J1Ebchaos the quest is to find the simplified version of these circuits. 
		G2
X1(bWith the presence of inductor and two op	
2
Xb-	)2
Xbamp based nonlinear 
		q2
e1Dbdiode the Chua�s circuit is not considered as simplified electronic 	
		>2
s1"bcircuit. In this study the complex
	
2
s�b 	72
s�bnonlinear characteristics of 		J2
�1*bChua�s circuit are explored by an inductor		
2
� b-	2
�$bfree, one op	
2
�gb-	2
�kbamp 
		g2
�1=bbased nonlinear diode which is currently the most simplified 

		g2
�1=bversion of this circuit. Hardware implementation and circuit 	

		M2
�1,bsimulation of the circuit gives the identica
	,2
�
bl nonlinear dynamical 
		s2
�1Ebcharacteristics that of conventional Chua�s circuit e.g. limit cycle 	
		m2
�1Abattractor, chaotic spiral attractor, period doubling cascade and 		j2
�1?bchaotic double scroll attractor. The existence of chaos in the 		C2
�1%bsystem is verified through time serie

	22
�bs plots, phase portraits, 		h2
�1>bbifurcation diagram and lyapunov spectrum. Nonlinear ordinary 

			m2
�1Abdifferential equations of the proposed circuit were solved using 	------	2
1bMatlab.---	
2
Yb 	---���@Times New Roman------	2
&CbKeywords	
2
&qb�---	
2
&}b 	2
&�	bChaos, Op		
2
&�b-	C2
&�%bamp based Chua�s circuit, Attractor, 		------	:2
41bBifurcation, lyapunov spectrum.	---	
2
4�b 	---���@"Arial---����@Times New Roman-	-	-	-	-	-	-	-	-	---���@Times New Roman-
-
-
����@Times New Roman----
-
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---	2
W~bI.---	
2
W�b 
-	-	-		
2
W�b ---	
2
W�bI-	-	-		2
W�bNTRO-	-	-		2
W�bDUCTION ---	
2
W�b(-
-
-
	
2
W�bH	---	2
W�bEADING -
-
-
	
2
W%b1---	
2
W,b)	
2
W0b 	b'��'�����@Times New Roman---	b2
k1:bThe systems that evolve through time are called dynamical 					d2
z1;bsystems. There are two types of dynamical systems iterated 						^2
�17bmap with discrete time and differential equations with 			


			b2
�1:bcontinuous time. The phenomena of chaos can occur in both 				2
�1bsystem		_2
�W8bs. It can be defined as deterministic but unpredictable 			a2
�19bbehavior of nonlinear dynamical systems. Chaotic systems 					a2
�19bhave infinite period and sensitive dependence on initial 									j2
�1?bconditions. There are several applications of chaos in various 		.2
�1bfields of science such 	J2
��*bas biology, chemistry, physics, robotics, 			F2
�1'bcryptography and secure communication. 			
2
�b 		^2
17bThe chaotic dynamics can be examined through nonlinear 				_2
18belectronic circuits. The quest is to design a nonlinear 






			a2
#19belectronic circuit with simpler components. According to 								
		2
21bPoinca	R2
2U/bre Bendixson theorem �For continuous dynamical 	


			[2
B15bsystem to have chaotic behavior the system should be 										g2
Q1=bcompletely defined by three dimensions in phase space and it 				g2
`1=bshould have at least one nonlinear term�. The Chua�s circuit 			>2
p1"bwas the first autonomous nonlinear	
					
2
pb 		,2
pbelectronic circuit to 				b2
1:bgenerate chaos. The conventional Chua�s circuit has three 		d2
�1;benergy storage elements, a linear resistor and one locally 			R2
�1/bactive nonlinear diode (three segment piecewise


			
2
�`b-	2
�dblinear 		\2
�16bresistor). These are the minimum number of elements a 															2
�1bchaotic	
2
�Xb 	X2
�]3bsystem should have. The construction of the Chua�s 			e2
��<bcircuit contain a second order LC resonator cascaded with op		
2
��b-		b2
�:bamps based negative impedance converter through a RC high 				2
�
bpass filter. 	
2
�b 		e2
'�<bPresence of inductor makes the circuit hardware bulky, less 				2
6�brobust, les		O2
6�-bs compact, less reliable and expensive. Many 								2
F�binductor	
2
F�b-	Y2
F�4bfree realizations of Chua�s circuit are proposed in 		[2
U�5bliterature till now. And the three segment piecewise 
	
				e2
d�<bnonlinearity of Chua�s diode can be synthesized through any 		2
t�bsimpler two			
2
t�b-	12
t�bterminal nonlinear compon			2
t�bent 	2
t�b[1]	2
t�b. Different 			2
��binductor	
2
��b-	X2
��3bfree and nonlinear diode realizations are proposed 		U2
��1bafter the discovery of nonlinear Chua�s circuit. 	
2
��b 		#2
��bIs this paper op	
2
��b-	(2
��bamps based inductor		
2
�nb-	.2
�rbless Chua�s circuit is 		,2
��bstudied, the LC resona	L2
�+btor is replaced by a sinusoidal oscillator 		e2
��<band the nonlinear diode is replaced by a negative impedance 			.2
��bconverter. The inductor	
2
�!b-	>2
�%"bless Chua�s circuit shows all the 			g2
��=bdynamical behavior as of conventional Chua�s circuit such as 			>2
��"blimit cycle attractors, spiral cha		82
�Nbotic attractor, double scroll 		g2
��=bchaotic attractor and period double cascade by varying value 		82

�bof a single control parameter.		
2

4b 		d2
�;bThis paper is organized in the following manner. In section			
2
�b-	2
�b2 		2
,�bop	
2
,�b-	[2
,�5bamp based Chua�s circuit is presented. The dynamical 				#2
;�bbehavior of the 				F2
;�'bproposed system is studied through its 			g2
J�=bnumerical simulations and hardware results. In the following 						2
Z�
bsection op	
2
Z�b-	U2
Z�1bamp based Chua�s circuit is investigated through 			P2
i�.bnumerical and experimental results. In section						
2
i�b-	2
i�b4 chaos is 		D2
x�&bexplored using lyapnouv spectrum and p		2
x{bitch	
2
x�b-	&2
x�bfork bifurcation. 		2
��bsection	
2
��b-	.2
��b5 conclude the results.	
2
�<b 	-	-	-	----	-	-	----	-	-	----	-	-	------	2
��bII.---	
2
��b ---	
2
��bO	-	-	-		
2
��bP---	
2
��b-	
2
��bA
-	-	-		2
��bMP 
---	
2
��bB-	-	-		2
��bASED ---	
2
�bI-	-	-		2
�bNDUCTOR---	
2
�Tb-	
2
�XbL-	-	-		2
�_bESS ---	
2
�sbC-	-	-		2
�{bHUA---	
2
��b�-	-	-		2
��	bS CIRCUIT---	
2
��b.	
2
��b 	b'��'��---	d2
��;bIn 1983 first autonomous nonlinear electronics circuit was 				[2
��5bdesigned by Leon O Chua. The Chua�s system has three 				P2
��.bordinary differential equations. These equatio	2
��bns are:	
2
��b 		
2
��b 		
2
��b 		b&TNPP5A��!����(�!���������`��`���s����`���w�������g��9�����s�1��
�����q�������sa݀����3�83�|���8��|�1�8q�����8v��x8���|�8>����0��ǃ0ぞ�0�x���0ミx`��p�����p��p�p����?��`�p��p���p��ÿ������q����?�p�p�����p���pp���p��pp���p�p�0���0�``0���0���`8���8����x`8����8���}�8���8��~�`����vp��~�0���>8���>�@�A��!����(�!�����:�f������f��f���f::::f��ې:ff:��f�ff�ې�:���::�:f�۶fff�����:f:f�::�f:fff:::�f�:������f:�






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2
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��b 	��"System�,���~�����u�--bbaa``__3�C����՜.��+,��0`hp��������
�)�IEEE~#tE%Paper Title (use style: paper title)Introduction (Heading 1)+Op-Amp Based Inductor-Less Chua�s circuit.#Numerical and Experimental results
    Units    Equations    Some Common MistakesUsing the Template    Authors and AffiliationsY        For author/s of only one affiliation (Heading 3): To change the default, adjust Y        For author/s of more than two affiliations: To change the default, adjust the te    Identify the Headings    Figures and TablesY        Positioning Figures and Tables: Place figures and tables at the top and bottom oTitle	Headings
	

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����	�F Microsoft Word 97-2003 Document
MSWordDocWord.Document.8�9�q

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