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<:Climatic variables mapping using geostatistics in semi arid region: Case study of Tunisia

Haifa Feki* 1 and Hatem Baccour 2

1  Department of hydraulic, Higher school of rural equipment engineers of Medjez el bab, Tunisia
*   Corresponding author,  HYPERLINK "mailto:haifa.fki@gmail.com" haifa.fki@gmail.com, Tel +2169552422
2  Director of agro meteorology service, National Institute of Meteorology of Tunisia, Tunisia,
 HYPERLINK "mailto:baccour@meteo.tn" baccour@meteo.tn

Abstract: In this paper, two geostatistical algorithms are compared: universal kriging (UK) and kriging with external drift (KED). These algorithms are used to interpolate interannual rainfall observations and interannual potential evapotranspiration (Et0) measured at 22 weather stations in Tunisia covering an area of 164 150 km2. Experimental sample semi variograms are constructed and fitted to estimate levels of interannual rainfall and interannual Et0. Contour maps and corresponding uncertainty maps are then created. Maps of rainfall and Et0 obtained using UK showed a slightly smoother pattern than those obtained using KED. The largest kriging variance values are located in the west and south parts of the study area for both methods with a larger maximum variance for Et0 than for rainfall. Cross validation showed that the RMSE obtained for KED gave better results for rainfall interpolation while the UK gave better result for Et0 interpolation.
                                                                                                            
Keywords: Interannual rainfall; interannual potential evapotranspiration; geostatistics; universal kriging; kriging with external drift; variograms, Tunisia.




Introduction
Climatic variables are highly dynamic and are constantly changing in form and intensity across a given region. An important stage in many climatic analysis and engineering design projects is point or areal estimation of climatic variables over a catchment area from data taken at several weather stations. Resulting, climatic maps have a wide range of applications such as water resources management and climatic simulation. 
Geostatistical techniques are widely used for the prediction of climatic variables (Dalezios 2002, Diodato 2005, Goovaerts 2000, Kravchenko 1996, Noshadi 2005) over a given area by accounting for the spatial dependency of variables. The geostatistical approach is based on the theory of regionalized variables (Matheron 1970) and it assumes that spatial samples are a realization of a random spatial process. This allows the use of a powerful statistical instrument for spatial estimations: the semi variogram (Feki 2010). 
This paper shows the application of universal kriging (UK) and kriging with external drift (KED) for the spatial interpolation of interannual rainfall and interannual potential evapotranspiration (Et0) in Tunisia.

Methodology	
Let  QUOTE   represent a realization of the random variable  QUOTE   at particular points  QUOTE   within a field S. The intrinsic hypothesis of geostatistics assumes that for a random variable QUOTE  : (i) the expected value of  QUOTE   does not depend on the positions of si, and (ii) the variance of  QUOTE   does not depend on the position si in S for any separation vector h. 

Semi variogram analysis
The semi variogram function  QUOTE   gives a measure of the spatial correlation of a random variable  QUOTE   as a function of separation distance h. Semi variograms are estimated by the function: 




Equation (1)where  QUOTE  n(h) is the number of pairs of points in a distance interval (h+"h).
Equation (1) indicates that the semi variogram is independent of the spatial locations and it only depends on the distance between the two points under consideration (Journel and Huijbregts 1978). A mathematical authorized model may then be fitted to the experimental semi variogram and the coefficients of this model can be used for kriging. 
In semi variogram models where the semi variance reaches a finite variance and levels out the maximum is referred to as the sill. This is termed a bounded model (spherical and exponential models). Models that do not reach a sill are termed unbounded (power model). Unbounded semi variograms may indicate a large-scale trend (that is, systemic increase or decrease) in the values of the property characterized across the study area (Kitanidis 1997).    
            
Universal kriging:
The random variable Z(s) is composed of a deterministic component m(s), the drift, and a residual random function Y(s).
Equation (2)It is assumed that Y(s) is second-order stationary with zero mean,  QUOTE  , so that:
Equation (3)The drift m(s) expresses local smooth variation of the random function Z(s) at the scale of observation. The random function Y(s) accounts for the erratic fluctuations around the drift. This latter depends on the deterministic functions, fl (l = 0, 1, 2,�, L), that are functions of the geographic coordinates (x,y) and linearly independent to ensure that the matrix of coefficients in the kriging system is invertible:

Equation (4)where the coefficients al are unknown but not zero.
Then, a linear combination is used:
Equation (5)The non biased condition,  QUOTE   , leads to
Equation (6)And thus,
Equation (7)As the al are nonzero,
Equation (8)Developing the expression for the estimation variance, introducing the constraints into the objective function together with Lagrange parameters  QUOTE   and minimizing the objective function, the universal system is obtained:

Equation (9)and the estimation variance is : 
Equation (10)Kriging with external drift:
KED allows the prediction of a variable Z, known only at small set of points of the study area, through another variable Y, exhaustively known in the same area (Bourennane and King 2003). We choose to model Z with a random function Z(s) and Y as a deterministic variable Y(s) with  QUOTE    a particular point of a field S. The two quantities are assumed to be linearly related, i.e. it is assumed that the expected value of Z(s) is equal to Y(s) up to a constant a0 and a coefficient b1:
Equation (11)The case of a random function Z(s) is examined. The prediction of the function Z(s) is improved by introducing the shape functionY(s) that provides detail at a smaller scale than the average sample spacing for Z(s). The estimator Z*(s0) at location s0 is a linear combination of the sample values QUOTE   at locations si(i= 1,..., n):
 Equation (12)We look for an unbiased predictor, that is, with a prediction error that is expected to be zero,  QUOTE  , so that:
Equation (13)This equality can be developed into:
                                 =  QUOTE  .Equation (14)This equation implies that the weights should be on average consistent with an exact interpolation of Y(s):    
Equation (15)The objective function (O) to minimize in this case consists of the prediction variance  QUOTE   and of two constraints:
Equation (16)where  QUOTE   and  QUOTE   are Lagrange parameters, and  QUOTE   is the prediction variance that is equal to:
Equation (17)  with C being the covariance function of Z.
The minimum of this quadratic function is found by setting the partial derivates of the objective function O ( QUOTE  ,  QUOTE  , QUOTE  ) to zero, leading to the system of equations:


Equation (18)with the minimal prediction variance:
   Equation (19)


Results and discussion
Study area and data
Tunisia is a Mediterranean coastal region in Northern Africa with an area of 164 150 km2. The physical geography of the region is quite heterogeneous (figure 1a). Small plains where the Oued Medjerda flows separate mountains in the north. 

Figure 1. Location of climatic stations.
The mountains are progressively replaced by Steppes, then by the oriental coasts that stretch from the Cap Bon peninsula to the Libyan borders. The coasts (1 300 km) are cut by profound gulfs and many islands. Towards the south, the mountainous chains are lower (Sahara). 
Climatologically, Tunisia is situated in the geographic transition zone between the humid temperate climate and the arid Saharan climate. Although, the global climate is arid, there are three distinct climatic regions: (i) The North region is characterized by a Mediterranean climate with a humid and sub humid atmosphere, (ii) A semi arid climate is found in the center and the east coast of Tunisia, and (iii) The climate becomes Saharan in the south. 

Precipitation is characterized by an important north-south spatial distribution. In the north, the cumulative annual mean rainfall ranges from 400 mm and 1000 mm and 1500 mm per year over the Kroumirie Mountains. The rainy season extends from September to April with a rainfall maximum during the winter months. In the center of Tunisia, mean rainfall ranges from 200 to 400 mm per year and is characterized by its variability from one year to another. South Tunisia is characterized by a Saharan climate where rainfall is erratic. 
Interannual rainfall data and potential evapotranspiration data are available for 22 weather stations in Tunisia (figure 1b) for a 20-year period (1986-2005).  Elevations were also available at each climatic station location as digital elevation model (DEM) at 20 X 20 km resolution.

Spatial variation of interannual rainfall and Et0
Under the second order assumption, a semi variogram approaches its sill, which is numerically the same as the variance of the random field under consideration. However, the rainfall and Et0 experimental semi variograms are fitted visually by linear type model without nugget effect (figure 2). Therefore, the semi variograms increase without a sill; it means that the random rainfall field and Et0 field are non stationary due to a spatial trend of the expected values. 

(b)
      experimental points
__  fitted model
 Figure 2. Samlpe variograms: (a) interannual rainfall, (b) interannual Et0.


Rainfall cartography and distribution of estimation uncertainty 
Semi variogram parameters are introduced into different kriging algorithms to obtain interannual rainfall maps and the corresponding uncertainty estimation maps. The spatial repartition of interannual rainfall is non-uniform over the entire country, and depends on many factors such as geographic coordinates, general atmospheric circulation, climate, and, relief disposition. 
Precipitation amounts in the northwest are most important, independent of the interpolation method (figure 3 (a,b)). The rainfall gradient is more notable in the north than in the south, and changes from the north west/south east direction in the north to the north/south direction toward the center and the south of the country. 
The precipitation map obtained by UK (figure 3 a) shows a slightly smoother pattern than the one obtained by KED (figure 3 b). The isohyet for 100 mm changes in direction in the rainfall map obtained by UK compared to the rainfall map obtained by KED, in fact, for the latter, the 100mm isohyet is in the direction of the �Chain du Dhahar� mountainous range located in the south of the country.

(c)


(d)
Figure 3. Cartography of interannual rainfall: (a) rainfall map obtained by UK, (b) rainfall map obtained by KED, (c) standard deviation uncertainty map obtained by UK, (d) standard deviation uncertainty map obtained by KED.

An advantage of the different kriging algorithms is that they calculate the uncertainty associated with a predicted value. Uncertainty is measured based on the kriging variance QUOTE  , and this kriging variance or its root square QUOTE  , the kriging standard deviation, represents the possible dispersion of the unknown actual variable around the predicted value (Jeann�e, 2001). 
The two methods of interpolation gave practically the same pattern of the uncertainty maps (figure 3 (c,d)) with same amounts. It is important to note that more the uncertainty estimation values are low, more the predicted value is in average near to the reality, and therefore, the map is more precise; besides, regions where the values of the uncertainty estimation is important are those under sampled. In the case study, the kriging standard deviation is the lowest around the measure points, essentially in the north; it becomes more important to the west and the south of the country. 



Potential evapotranspiration cartography and distribution of estimation uncertainty 
Generally, for the two interpolation method, the Et0 amounts (figure 4 (a,b)) are the weakest in the north and the eastern cotes of the country because of the humid air masses coming from the Mediterranean Sea. Toward the west center and the south, a gradient appears with north east/south west direction. The deficit of humidity is the most important in the south west desert region of the country. 

	 (a)                                                    (c)

	 (b)                                                     (d)
Figure 4. Cartography of interannual Et0: (a) Et0 map obtained by UK, (b) Et0 map obtained by KED,              (c) standard deviation uncertainty map obtained by UK, (d) standard deviation uncertainty map obtained by KED.

As for rainfall maps, the Et0 map obtained by UK (figure 4a) shows slightly smoother pattern than the one obtained by KED (figure 4b), the two methods of interpolation gave practically the same pattern of the uncertainty maps (figure 4 (c,d)) with same amounts. The uncertainty estimation values are weak around the measure points; they become more important in the regions with sparse network essentially the west and the south of the country. 

Cross validation
To assess the performance of each prediction method, the cross-validation was used. This technique allows the comparison of the predicted and the actual values using the information available in our sample data set. The sample values are temporarily discarded from the sample data set; the value is then estimated using the remaining samples. The estimates  QUOTE   in a point (si)i=1�n are finally compared to the true values  QUOTE  in the same point and the root mean square error (RMSE) is calculated. The best result is obtained when he RMSE is minimal. It is expressed as:
Equation (20)For interannual rainfall, the KED method provides the best results by presenting the largest value of the coefficient of determination (0.86)  (figure 5b). This confirms the effect of the relief disposition on the rainfall repartition over Tunisia. In contrast, the coefficients of determination of cross validation obtained by UK and KED for the interannual Et0 interpolation (figure 5 (c,d)) are slightly the same (0.87 vs. 0.85). 


(a)                                                                         (b)

(c)                                                                         (d)
Figure 5. Cross validation � actual versus estimated values of: (a) rainfall (UK), (b) rainfall (KED),              (c) Et0 (UK), (d) Et0 (KED).

In terms of the root mean square error (RMSE) (table 1), the KED method provides the most accurate estimates than the UK for the interannual rainfall interpolation with minimal RMSE value. For interannual Et0, UK gave the minimal value of RMSE; therefore, the most accurate estimates are obtained by the application of UK.
Table 1. Comparison of the RMSE obtained by UK and KED for the interpolation of the interannual rainfall and Et0.
RainfallUK22,99KED17,62ET0UK22,19KED25,17Conclusions
Geostatistics is a powerful tool for classifying the spatial variability of climatic effects and for detecting the effect of secondary factors on this variability. In this study, universal kriging (UK) and kriging with external drift (KED) were applied for the spatial interpolation of interannual rainfall and potential evapotranspiration (Et0).
A general view of the maps of key climatic variables show that, the spatial repartition of rainfall and Et0, independent of the kriging method, is non-uniform with a more accentuate variability of rainfall as compared with Et0. In fact, the direction and intensity of the rainfall and Et0 gradient depend on many external factors, such as geographic position, general atmospheric circulation, climatic regime and relief disposition thus, provoking an unequal repartition between the north and the south in one hand, and the east and the west in another.
The maps of climatic variables and standard deviation uncertainty when compared demonstrate that for most of the regions, the difference between the actual values and estimated values is around 10%. Such precision is acceptable particularly for a sparse network. In regions (for e.g., desert), where uncertainty is crucial, this percentage is considered as the highest and is estimated to be the lowest at the center and the north.    
The cross validated result demonstrates that for interannual rainfall  the KED method provides the best results by presenting the largest value of the coefficient of determination (0.86). In contrast, the coefficients of determination for cross validation, obtained by UK and KED for interannual Et0 interpolation, are slightly the same (0.87 vs. 0.85). In terms of root mean square error (RMSE), the KED method provides most accurate estimates than the UK method for the interannual rainfall interpolation with minimal RMSE value. For interannual Et0, UK gave a minimal RMSE value; and therefore, was believed to provide the most accurate estimates.

Acknowledgements
We gratefully acknowledge the National Institute of Meteorology of Tunisia (INM) in providing climatic data.

References
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